Arithmetisches Mittel, Median und Modus – die wichtigsten Lageparameter
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Einleitung
Lageparameter ist ein Begriff, der der deskriptiven Statistik zuzuordnen ist. Lageparameter geben Aufschluss darüber, wo der Mittelwert oder die zentrale Lage einer Verteilung ist.
Das arithmetische Mittel, der Median sowie der Modus sind die wichtigsten Lageparameter. In diesem Artikel gehen wir auf die jeweiligen Begriffe der Mittelwerte, deren Berechnung, Unterscheidung und Deutung ein.
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Definition von Lageparametern
- Lageparameter, oder auch Lagemaße, werden zusammen mit den Streuungsmaßen dazu hergenommen, um eine Verteilung zu charakterisieren.
Während Lageparameter die Lage des Mittelwertes oder der häufigsten Ausprägung angeben, bestimmen Streuparameter die Ausbreitung.
Damit man die verschiedenen Lageparameter korrekt berechnen und zuordnen kann, ist es wichtig zu wissen, in welchen Einheiten die Ausprägungen auftreten und somit auf welcher Art von Skala sie dargestellt werden. Nicht für jede Art von Beobachtungswert kann jeder Lageparameter angewendet werden. Beispielsweise lässt sich nicht für jedes Merkmal ein arithmetisches Mittel bilden.
Aus nominal skalierten Werten, wie einer Farbe, lässt sich kein Wert berechnen, der einen Durchschnitt sinnvoll wiederspiegelt.
Im Folgenden unterscheiden wir die drei Skalenarten nominal, ordinal oder metrisch:
Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel wird häufig auch arithmetischer Mittelwert oder nur Mittel
bzw. Mittelwert genannt. Es wird mit ¯x bezeichnet und bildet einen einfachen Durchschnitt aus den Variablenausprägungen.
Der Mittelwert lässt sich berechnen, indem
alle Beobachtungswerte aufsummiert und anschließend durch die Anzahl geteilt werden.
Die Formel für den Mittelwert lautet:
Die Nachteile am arithmetischen Mittel sind, dass es nicht für nominale Skalen geeignet ist und sehr anfällig gegenüber Ausreißern ist. Besonders große oder kleine Werte verfälschen das arithmetische Mittel. Ebenfalls kann es vorkommen, dass es keinem aufgetretenen Beobachtungswert entspricht und somit schwierig zu deuten ist.
Berechnen wir das arithmetische Mittel anhand eines Beispiels. Befragt werden sechs beliebige Jugendliche nach ihrem Taschengeld:
Setzen wir diese Werte in die Formel für das arithmetische Mittel ein:
Die Jugendlichen bekommen durchschnittlich 12€ Taschengeld.
Median
Der Medianwert, oder auch nur Median genannt, ist der Wert exakt in der Mitte der Verteilung. Er teilt diese in zwei Hälften, die eine ist kleiner als der Median, die andere größer.
Um den Median angeben zu können, müssen die Messwerte nach der Größe oder einer anderen Rangordnung sortiert werden. Dementsprechend ist der Median nur für ordinal oder metrisch skalierte Merkmale geeignet.
Bei einer ungeraden Anzahl an Werten gibt es einen realen Wert bzw. Datenpunkt als Median, bei einer ungeraden Anzahl an Werten wird der Durchschnitt der beiden mittleren Werte errechnet.
Die Formel lautet somit:
Gibt es beispielsweise fünf Messwerte, ist der Größe nach geordnet der dritte der Median. Bei vier Messwerten liegt der Median zwischen dem zweiten und dritten Wert.
Der Median ist, im Gegensatz zum arithmetischen Mittel, deutlich robuster gegenüber Ausreißern.
Betrachten wir die Jugendlichen aus dem vorherigen Beispiel. Für die Berechnung des Medians ordnen wir die Werte nach der Größe:
Da wir fünf Personen befragt haben, liegt der Wert bei
also beim dritten Wert in der Tabelle (Person 4) und somit bei 10€.
Modus / Modalwert
Der Modalwert oder auch Modus beschreibt die Ausprägung, die am häufigsten auftritt, also den typischen Wert einer Verteilung.
Der Modus kann in einer Häufigkeitstabelle als der Wert mit der größten Häufigkeit abgelesen werden. Grafisch ist er in der Verteilung der Wert mit dem höchsten Punkt. Er ist jedoch nicht für stetige Daten geeignet.
Hat eine Verteilung nur eine Ausprägung mit der größten Häufigkeit spricht man von einer unimodalen Verteilung.
Sind zwei solcher Ausprägungen vorhanden, muss unterschieden werden, ob diese benachbart liegen oder nicht. Liegen sie nebeneinander,
wird üblicherweise der Durchschnitt gebildet und als Modus angegeben.
Liegen die Werte nicht nebeneinander, benennt man beide Werte als
Modus. Man spricht in diesem Fall von einer bimodalen Verteilung. Mehrere Modi sind unwahrscheinlich und würden nach der gleichen Regel angegeben werden.
Ist eine Verteilung unimodal und symmetrisch sind arithmetisches Mittel, Median und Modus gleich. Ist die Verteilung nur symmetrisch, fallen arithmetisches Mittel und Median auf denselben Wert.
Betrachten wir auch den Modus anhand eines Beispiels. Zehn beliebig ausgewählte Kinder werden nach ihrer Lieblingsfarbe gefragt:
Wandeln wir diese Werte in eine Häufigkeitstabelle um, kann der Modus einfach abgelesen werden:
Die Farbe Blau wurde von drei Kindern genannt, ist also der Wert der am häufigsten auftritt und somit der Modus dieser Befragung.
Zusammenfassung
Die Entscheidung ob Arithmetisches Mittel, Median oder Modus Anwendung finden, kann nicht pauschal getroffen werden. Es gibt jedoch ein paar Kriterien für die Verwendung der Mittelwerte wie Skalenniveau oder Streuung.
- Das arithmetische Mittel wird am häufigsten genutzt. Dieser Mittelwert muss als Ausprägung nicht vorhanden sein, liefert aber nur im Falle einer metrischen Skala eine sinnvolle Interpretation
- Der Median ist gut einsetzbar für ordinalskalierte Werte und bietet gerade im Fall von Ausreißern ein robustes Ergebnis.
- Der Modus ist der einzige anwendbare Mittelwert für nominal skalierte Werte, außerdem ist er auf jeden Fall ein realer Messwert. Er geht jedoch nur auf die Häufigkeit, nicht auf die Breite der Verteilung ein.
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